Este capítulo corresponde a las definiciones y los teoremas básicos sobre cuerpos. Comenzamos con la definición de grupo y algunas propiedades importantes de ellos, además de algunos ejemplos de grupos de uso frecuente tales como el grupo simétrico de grado n, con n ∈ ℕ y el grupo de las clases residuales módulo un número primo p.

1.1. Cuerpos

Iniciamos esta sección presentando la definición de grupo.

1.1.1 Definición. Sea G un conjunto no vacío tal que a cada par (x, y) ∈ G × G está asociado un único x · y ∈ G, esto es, sobre G está definida una operación binaria “ · ”. (En lo sucesivo escribimos simplemente xy en lugar de x · y). El par (G, ·) se denomina un grupo si se verifican:

(G1) Para todo x, y, z ∈ G se cumple x(yz) = (xy)z.

(G2) Existe un elemento e ∈ G tal que xe = ex = x, para todo x ∈ G.

(G3) Para cada x ∈ G existe un y ∈ G tal que xy = yx = e.

Si para cada x, y ∈ G se cumple, además, que xy = yx, entonces decimos que G es un grupo abeliano o conmutativo. Es usual escribir los grupos abelianos de forma aditiva, es decir, escribimos x + y en lugar de xy. Si solo se verifica el axioma (G1), entonces llamamos a G un semigrupo. Si G es un conjunto finito, entonces al número de elementos de G lo denominamos orden de G y lo notamos con |G|.

1.1.2 Ejemplos. Algunos ejemplos de grupos:

1. ℤ, ℚ, ℝ y ℂ son grupos abelianos con respecto a la suma usual.

2. Si K es ℚ, ℝ o ℂ, entonces K^× := {x ∈ K | x ≠ 0} es un grupo abeliano con respecto a la multiplicación usual.

3. Sea Ω un conjunto no vacío. El conjunto de todas las biyecciones de Ω en sí mismo, notado con Sym(Ω), es un grupo con respecto de la composición de funciones usualmente denominado grupo de permutaciones de Ω. Un caso especial se tiene cuando Ω = {1,..., n}. En este caso escribimos Sym(n) en lugar de Sym(Ω) y hablamos del grupo simétrico de grado n. Se verifica que |Sym(n)| = n!.

4. Sea n ∈ ℕ. Para x, y ∈ ℤ definimos

x ≡ y mód n ⇔ n | (x − y),

la relación de congruencia módulo n. Esta define sobre ℤ una relación de equivalencia. La clase de equivalencia de x ∈ ℤ está dada por

[x] = {nk + x | k ∈ ℤ} = x + nℤ.

Sabemos que

[x] = [y]	⇔	x ≡ y mód n
	⇔	x = nk + y, con k ∈ ℤ,

es decir, las clases de equivalencias distintas son [0], [1], ···, [n−1]. Si consideramos ahora el conjunto

ℤ_n := {[x] | 0 ≤ x < n},

podemos definir sobre este dos operaciones binarias, suma y multiplicación de la siguiente manera:

Demostremos que estas operaciones están bien definidas: supongamos que [a] = [a′] y [b] = [b′]. Entonces a = a′ + nk y b = b′ + nt, con k, t ∈ ℤ. Entonces a + b = (a′ + b′) + n(k + t), lo cual demuestra que [a + b] = [b + b′]. Es decir, [a]+[b] = [a′]+[b′]. No es difícil verificar que (ℤ_n, +) es un grupo abeliano, con módulo [0] y −[x] = [n − x].

Por otro lado, ab = a′b′ + n(b′k + a′t + nkt). Esto significa que [ab] = [a′b′]. Es decir, [a] · [b] = [a′] · [b′].

Es importante anotar que en general, (ℤ_n, ·) no es un grupo.

Algunas consecuencias de la definición de grupo se presentan a continuación.

1.1.3 Lema. Sea G un grupo. Entonces:

1. Existe un único e ∈ G que satisface (G2).

2. Para cada x ∈ G existe un único y ∈ G tal que yx = e. Usamos la notación x⁻¹ para denotar el inverso de x ∈ G.

3. (x⁻¹)⁻¹ = x, para todo x ∈ G.

4. (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹, para todo x, y ∈ G.

DEMOSTRACIÓN.

1. Sea e′ ∈ G tal que e′x = xe′ = x, para todo x ∈ G. Entonces, e = ee′ = e′.

2. Sea x ∈ G y supongamos que existen y, z ∈ G tales que yx = xy = e = xz = zx. Entonces y = ey = (zx)y = z(xy) = ze = z.

3. De la definición de x⁻¹ se sigue que x⁻¹x = xx⁻¹ = e, esto es, x es el inverso de x⁻¹. En consecuencia x = (x⁻¹)⁻¹.

4. De la definición de grupo se sigue:

(y⁻¹x⁻¹)(xy) = y⁻¹(x⁻¹x)y = y⁻¹(ey) = y⁻¹y = e,

Entonces (y⁻¹x⁻¹) = (xy)⁻¹, lo cual completa la prueba. □

En el siguiente lema se demuestra que en un grupo se cumplen las leyes de cancelación a izquierda y a derecha.

1.1.4 Lema. Sean G un grupo y a, x, y ∈ G.

1. Si ax = ay, entonces x = y.

2. Si xa = ya, entonces x = y.

DEMOSTRACIÓN. Del lema 1.1.3 se sigue:

x = ex = (a⁻¹a)x = a⁻¹(ax) = a⁻¹(ay) = (a⁻¹a)y = ey = y.

Similarmente se demuestra la otra afirmación. □

1.1.5 Definición. Sea K un conjunto no vacío sobre el cual están definidas dos operaciones binarias, suma y multiplicación. La terna (K, +, ·) se denomina un cuerpo (un campo) si se verifican las siguientes propiedades

(C1) (K, +) es un grupo abeliano, con módulo 0.

(C2) (K^×, ·) es un grupo abeliano, con módulo 1, diferente de 0.

(C3) Para todo x, y, z ∈ K se cumplen x(y + z) = xy + xz y (x + y)z = xz + yz.

1.1.6 Definición. Sea K un cuerpo y U un subconjunto no vacío de K. Diremos que U es un subcuerpo de K, si al restringir las operaciones definidas sobre K a U, se verifica que U es un cuerpo.

1.1.7 Observaciones. Sea K un cuerpo. Entonces:

1. Del lema 1.1.3 se sigue 0 y 1 están determinados de manera única.

2. Si a ∈ K y b ∈ K^×, entonces −a y b⁻¹ también están determinados de manera única.

3. Si se cumplen (C1), (C3) y K^× es un semigrupo, entonces K se llama un anillo.

4. Si R es un anillo y existe 1 ∈ R, entonces R se llama un anillo con elemento identidad. Si R es un anillo y xy = yx, para todo x, y ∈ R, entonces R se llama conmutativo.

1.1.8 Teorema. Sea R un anillo. Entonces:

1. x0 = 0x = 0, para todo x ∈ R.

2. x(−y) = (−x)y = −(xy), para todo x, y ∈ R.

DEMOSTRACIÓN.

1. Note inicialmente que x0+x0 = x(0+0) = x0 = x0+0. Aplicando la propiedad cancelativa, se sigue que

x0 = 0.

Similarmente se demuestra que 0x = 0.

2. Usando 1. tenemos

xy + x(−y) = x(y + (−y)) = x0 = 0.

Es decir, x(−y) = −(xy). Similarmente se demuestra que (−x)y = −(xy). □

1.1.9 Ejemplos. Algunos ejemplos de cuerpos y anillos.

1. ℤ con las operaciones usuales es un anillo conmutativo con elemento identidad.

2. ℚ, ℝ y ℂ con las operaciones usuales son cuerpos.

3. Sea n ∈ ℕ. En el ejemplo 1.1.2 se demostró que ℤ_n con la suma mód n es un grupo abeliano. La asociatividad y la conmutatividad de la multiplicación se obtienen como consecuencia de la asociatividad y la conmutatividad de la multiplicación en ℤ. Similar sucede con la distributividad. Esto nos permite asegurar que ℤ_n es un anillo conmutativo. Nótese, además, que [1][x] = [x][1] = [x], para todo [x] ∈ ℤ_n. Por lo tanto, ℤ_n es también una anillo con elemento identidad.

4. Si p es un número primo, entonces ℤ_p es un cuerpo. En efecto, de lo anterior es suficiente demostrar que todo elemento no nulo de ℤ_n tiene un inverso multiplicativo. Sea [0] ≠ [x] ∈ ℤ_p. Entonces mcd(x, p) = 1 y se verifica que existen t, s ∈ ℤ tales que tx+sp = 1. Por lo tanto,

[t][x] + [s][p] = [1].

Pero [p] = [0], en consecuencia [t] = [x]⁻¹.

1.1.10 Teorema. Sea K un cuerpo y x, y ∈ K. En tal caso

1. Si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0

2. Si a ∈ K^× y ax = ay, entonces x = y

DEMOSTRACIÓN.

1. Supongamos que xy = 0 y x ≠ 0. Entonces,

y = 1y = (x⁻¹x)y = x⁻¹(xy) = x⁻¹0 = 0.

2. x = 1x = (a⁻¹a)x = a⁻¹(ax) = a⁻¹(ay) = (a⁻¹a)y = 1y = y. □

1.1.11 Definición. Sean K un cuerpo, a ∈ K y n ∈ ℤ. Definimos inductivamente el elemento de K, notado con na, de la siguiente manera

Si n1 0, para todo número natural n, entonces diremos que K tiene característica cero. Si existe n ∈ ℕ tal que n1 = 0, entonces el menor número con tal propiedad se llamará la característica de K. Usualmente se nota con Char(K).

1.1.12 Teorema. Si K es un cuerpo, entonces, Char(K) es cero o un número primo.

DEMOSTRACIÓN. Supongamos que Char(K) ≠ 0 y, además que Char(K) = mn, con m, n ∈ ℕ y m, n > 1. Entonces se verifica que

0 = (mn)1 = (m1)(n1).

Dado que K es un cuerpo, se verifica que m1 = 0 o n1 = 0, lo cual contradice la minimalidad de la característica. □

1.1.13 Ejemplos. Algunos ejemplos de características.

1. ℚ, ℝ y ℂ son cuerpos de característica cero.

2. Si p es un número primo, entonces ℤ_p es un cuerpo de característica p. En efecto, p[1] = [0] y si m < p, entonces m[1] ≠ [0].

1.1.14 Definición. Se define el cuerpo primo P de un cuerpo K como la intersección de todos sus subcuerpos. Esto es,

P = {U | U es subcuerpo de K}.

Evidentemente P está contenido en cualquier subcuerpo de K. Es decir, P es el subcuerpo más pequeño de K.

1.1.15 Teorema. Sea K un cuerpo con característica p. Entonces K tiene un subcuerpo isomorfo a ℤ_p, el cual denominamos cuerpo primo de K.

DEMOSTRACIÓN. Definimos la función : ℤ_p → K de la siguiente manera:

para todo m ∈{0, 1,..., p − 1}.

Se verifica sin dificultades que es un homomorfismo de anillos, es decir, (x + y) = (x) + (y) y (xy) = (x)(y), para todo x, y ∈ ℤ_p.

Demostramos ahora que es inyectiva. En efecto, supongamos que (x) = (y), con x ≠ y. Entonces si definimos

z := x − y,

se verifica que (z) = 0. Por otro lado,

([1]) = (zz⁻¹) = (z)(z⁻¹) = 0.

En consecuencia, para todo [m] ∈ ℤ_p se verifica que

([m]) = ([m][1]) = ([m])([1]) = 0,

lo cual es contradictorio. Entonces define un isomorfismo entre ℤ_p y P.

Finalmente, todo subcuerpo de K tiene a 1 como elemento y, por lo tanto, también a m · 1; es decir, todo subcuerpo de K contiene a Im() y así, este debe ser su cuerpo primo. □

1.2. Ecuaciones lineales

1.2.1 Definición. Una ecuación lineal en las n-variables x₁,...x_n sobre un cuerpo K es una igualdad de la forma

donde a_j, b ∈ K para todo j ∈ {1,..., n}. Los escalares a₁,..., a_n se denominan coeficientes de la ecuación.

1.2.2 Ejemplos. Las siguientes ecuaciones son lineales, reales, en las variables x, y, z, w.

1.

2.

3. x + y − z − w = 9

4. (ln 2)x + (ln 3)y − (ln 5)z = 1,

mientras que

1. sen x +cos y − x = 1

2.

3. e^x − e^y = 1

4. ln x + ln y − ln z = 0

no son ecuaciones lineales.

1.2.3 Definición. Sean K un cuerpo y n ∈ ℕ. Definimos

Kⁿ := {(x₁, . . . , x_n) | x_j ∈ K}.

Sobre este conjunto podemos definir dos operaciones binarias denominadas suma y multiplicación por un escalar de la siguiente manera:

Sean x = (x₁,..., x_n), y = (y₁,..., y_n), k ∈ K

Un elemento (c₁,..., c_n) ∈ Kⁿ se denomina una solución de la ecuación lineal (1.3) si y solo si a₁c₁ + ··· + a_nc_n = b. El conjunto de todas las soluciones de (1.3) se denomina conjunto solución.

1.2.4 Ejemplo. El elemento (3, 0, 0) ∈ ℝ³ es una solución de la ecuación lineal

3x − 4y +15z = 9,

mientras que la terna (1, −1, 2) no lo es.

Podemos obtener el conjunto solución S de la siguiente manera:

Entonces

Podemos observar que (3, 0, 0) se obtiene con los valores t = 0 y s = 0.

1.2.5 Definición. Un conjunto de m-ecuaciones lineales en las nvariables x₁,...x_n sobre un cuerpo K:

con a_ij, b_j ∈ K para todo i ∈ {1, 2,..., n} y todo j ∈ {1, 2,..., m} se denomina un sistema de m ecuaciones lineales en las n variables x₁,...x_n sobre K. Si b₁ = ··· = b_m = 0, entonces el sistema lineal se denomina homogéneo. Notemos que el vector (0, 0,..., 0) ∈ Kⁿ siempre es solución de un sistema lineal homogéneo. Esta se denominará solución trivial o solución nula.

El sistema de ecuaciones anterior puede expresarse en la forma

1.2.6 Definición. Si S_j es el conjunto solución del la j-esima ecuación del sistema (1.4), digamos

a_j1x₁ + a_j2x₂ + ··· + a_jnx_n = b_jm,

entonces es el conjunto solución del sistema.

1.2.7 Definición. Dos sistemas de m ecuaciones lineales en n variables sobre un cuerpo K se denominan equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, ¿como obtener otro sistema de ecuaciones que sea equivalente a este y que, además, su conjunto solución sea fácil de calcular? En el siguiente teorema presentamos una respuesta a ese interrogante.

1.2.8 Teorema. El sistema de dos ecuaciones lineales en n variables sobre un cuerpo K

en el que a₁₁ ≠ 0 es equivalente al sistema

donde

a′2j	=	a21a1j − a11a2j, j = 2,..., n
b′2	=	a21b1 − a11b2.

DEMOSTRACIÓN. Para j = 1, 2 definimos

L_j := a_j1x₁ + a_j2x₂ + ··· + a_jnx_n.

Entonces los sistemas de ecuaciones (1.6) y (1.7) se transforman, respectivamente, en

Sea (x₁,..., x_n) ∈ Kⁿ una solución del sistema (1.6). Entonces

a₂₁L₁ = a₂₁b₁

−a₁₁L₂ = −a₁₁b₂

y, en consecuencia,

a₂₁L₁ − a₁₁L₂ = a₂₁b₁ − a₁₁b₂.

Es decir, toda solución de (1.6) es una solución de (1.7).

Recíprocamente, supongamos que (x₁,...,x_n) ∈ Kⁿ una solución del sistema (1.7). Entonces

a₂₁L₁ = a₂₁b₁

y se sigue que

con lo cual se tiene el resultado. □

1.2.9 Definición. Llamamos transformaciones elementales sobre las ecuaciones de un sistema lineal las siguientes:

(a) Multiplicar la i-ésima ecuación E_i por una constante no nula k.

kE_i → E_i.

(b) Sumar la i-ésima ecuación a la j-ésima ecuación.

E_i + E_j → E_j.

Demostramos más adelante que las siguientes operaciones se obtienen a partir de transformaciones elementales:

(c) Intercambiar la i-ésima ecuación con la j-ésima ecuación.

E_i ↔ E_j.

(d) Sumar k-veces la i-ésima ecuación a la j-ésima ecuación.

kE_i + E_j → E_j.

1.2.10 Ejemplo. Resolver el siguiente sistema lineal:

Solución:

1. Efectuando la operación elemental E₁ ↔ E₃, se tiene el sistema equivalente

2. Si efectuamos la operación elemental E₂ − 3E₁ → E₂, se tiene

3. Realizamos la operación −E₂ → E₂ y tenemos:

4. Seguimos ahora con la operación E₃ − E₂ → E₃ para obtener

Por sustitución hacia atrás tenemos el sistema equivalente

es decir, el sistema tiene solución única y esta es (−1, 2, 2) ∈ ℝ³.

En el procedimiento anterior hemos podido ahorrar la escritura de las ecuaciones y trabajar con un arreglo rectangular formado por los coeficientes del sistema y los términos independientes, el cual nos permite simplificar la notación.

Si tenemos el sistema lineal

podemos simbolizarlo con el arreglo rectangular

Cada n-tupla (a_i1 a₁₂ ··· a_ini-