RESISTENCIA DE MATERIALES: ALGUNOS TEMAS ESPECIALES

ISBN 9789588713960

Segunda edición, 2017

Autor

© Héctor Enrique Jaramillo Suárez

Gestión editorial

Dirección de Investigaciones y Desarrollo Tecnológico

Alexander García Dávalos

Jefe Programa Editorial

José Julián Serrano Quimbaya

jjserrano@uao.edu.co

Coordinación editorial

Jennifer Juliet García Saldarriaga

jjgarcia@uao.edu.co

Claudia Lorena González González

clgonzalez@uao.edu.co

Comunicadora

Luisa Fernanda Panteves Ospina

lfpanteves@uao.edu.co

Corrección de estilo

Luisa María Vidal

Diagramación

Alternativa Producciones

©Universidad Autónoma de Occidente

Km. 2 vía Cali - Jamundí, A.A. 2790 Cali, Valle del Cauca, Colombia

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Diseño epub:

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ÍNDICE GENERAL

PRESENTACIÓN

1.         TEORÍAS DE FALLA BAJO CARGA ESTÁTICA

1.1       TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO NORMAL (T.M.E.N.)

1.2       TEORÍA O CRITERIO DE LAS DEFORMACIONES LINEALES UNITARIAS MÁXIMAS

1.3       TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO CORTANTE O CRITERIO DE LAS TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS

1.4       CRITERIO DE LA ENERGÍA POTENCIAL UNITARIA DE VARIACIÓN DE LA FORMA

1.5       CRITERIO DE COULOMB-MOHR

1.6       ALGUNAS NUEVAS TEORÍAS DE FALLA

1.6.1  Criterio de Yang-Buginski

1.6.2  Criterio de Pisarenko-Lébedev

1.7       RESUMEN DE LOS CRITERIOS DE FALLA ESTÁTICA

1.8       EJEMPLOS

1.9       EJERCICIOS PROPUESTOS

2.         LA RESISTENCIA DE LOS MATERIALES BAJO LA ACCIÓN DE TENSIONES FLUCTUANTES: FATIGA

2.1       LA FATIGA DE LOS MATERIALES

2.2       CARGAS Y ESFUERZOS FLUCTUANTES

2.2.1  Carga fluctuante, esfuerzo fluctuante

2.2.2  Carga constante, esfuerzo fluctuante

2.3       ALCANCE Y APLICABILIDAD DE LOS ENSAYOS A LA FATIGA

2.4       MÁQUINAS PARA ENSAYOS A LA FATIGA DE LOS METALES

2.5       DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA

2.6       DIAGRAMAS S-N

2.7       FASES DE UNA FALLA POR FATIGA

2.8       FATIGA EN CICLOS ALTOS

2.8.1  Ejemplo

2.9       VARIABLES QUE AFECTAN DE FORMA IMPORTANTE LA RESISTENCIA A LA FATIGA

2.10     FATIGA POR CORROSIÓN

2.11     FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA

2.11.1  Factor de acabado superficial (K_a)

2.11.2  Factor de tamaño (K_b)

2.11.3  Factor de confiabilidad (K_c)

2.11.4  Factor de efectos de la temperatura (K_d)

2.11.5  Factor por efecto del concentrador de esfuerzos (K_e)

2.11.6  Factor de efectos diversos (K_f)

2.12     CRITERIOS DE FALLA PARA ESFUERZOS FLUCTUANTES

2.13     EJEMPLOS DE APLICACIÓN

2.14     EJERCICIOS PROPUESTOS

3.         MÉTODOS DE ENERGÍAS

3.1       ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

3.1.1   Energía disipada

3.1.2   Caso 1: carga axial

3.1.3   Caso 2: carga a flexión

3.1.4   Caso 3: carga cortante

3.1.5   Caso 4: torsión

3.1.6   Ejemplos

3.2       MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL PARA CUERPOS DEFORMABLES

3.2.1   Ejemplos

3.2.2   Ejercicios propuestos

3.3       TEOREMA DE CASTIGLIANO

3.3.1   Caso 1: carga axial

3.3.2   Caso 2: carga a flexión

3.3.3   Caso 3: torsión

3.3.4   Ejemplos

3.3.5   Ejercicios propuestos

4.         COLUMNAS

4.1       INTRODUCCIÓN

4.2       PANDEO

4.3       CONDICIÓN DE APOYOS DE UNA COLUMNA

4.4       FÓRMULA DE EULER

4.5       FÓRMULA DE J. B. JOHNSON

4.6       FÓRMULA DE LA SECANTE

4.7       EJEMPLOS

4.8       EJERCICIOS PROPUESTOS

5.         DEFLEXIONES EN VIGAS

5.1       RELACIONES FUNDAMENTALES DE LAS DEFLEXIONES EN UNA VIGA

5.2       MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRAL

5.2.1   Ejemplos

5.2.2   Ejercicios propuestos

5.3       MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS

5.3.1   Diagramas de momentos por partes

5.3.2    El método área de momento en la solución de vigas continuas

5.3.3   Ejemplos

5.3.4   Ejercicios propuestos

6.         MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN DE VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

6.1       ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS

6.1.1   Ejemplo

6.1.2   Ejercicios propuestos

6.2       MÉTODO DE CROSS

6.2.1   Momentos de Empotramiento Perfecto (MEP)

6.2.2   Factor de Rigidez (K)

6.2.3   Momento Transmitido

6.2.4   Factor de Distribucción (FD)

6.2.5   Ejemplos

6.2.6   Ejercicios propuestos

7.         INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA COMPUTACIONAL

7.1       EL PROCESO DE DISEÑO MECÁNICO

7.2       PAPEL DEL COMPUTADOR EN EL PROCESO DE DISEÑO ACTUAL

7.3       EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

7.3.1   Conceptos generales

7.3.2   Aspectos históricos

7.3.3   Ventajas del uso de las herramientas computacionales

7.4       ANÁLISIS DE ARMADURAS USANDO EL MÉTODO MATRICIAL

7.4.1   Esfuerzos y deformaciones en cerchas

7.4.2   Ecuaciones de equilibrio para elementos tipo barra (truss)

7.4.3   Transformación de coordenadas

7.4.4   Ensamble de la matriz de rigidez y condiciones de contorno

7.4.5   Ejercicio de aplicación

7.5       EJERCICIOS PROPUESTOS

ANEXOS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

PRESENTACIÓN

OBJETIVOS

Con este libro se quieren tratar algunos temas de la Resistencia de Materiales un poco avanzados o un poco complejos, que en ocasiones no se presentan en algunos textos clásicos de la Resistencia de Materiales. De igual manera, es importante destacar que las ideas desarrolladas en este libro requieren de un lector que haya trabajado, con anterioridad, los conceptos básicos de la Resistencia de Materiales, debido a que se parte del hecho de que estos ya son conocidos y manejados adecuadamente.

ENFOQUE GENERAL

Se presentan, al inicio de cada capítulo, los conceptos básicos necesarios para el desarrollo del tema. Seguido, se resuelven ejercicios aplicados. Estos han sido seleccionados o desarrollados durante varios años de experiencia del autor en el área, como profesor en diferentes asignaturas del plan de estudios de Ingeniería Mecánica, los cuales han sido utilizados en exámenes y diferentes talleres durante el desarrollo de los cursos.

Los ejercicios aquí mostrados han sido seleccionados con base en:

• Integralidad: el ejercicio no solo exige conocimientos de la Resistencia de Materiales, sino también los conocimientos de la estática, materiales y de elementos de máquinas y mecanismos.

• Aplicación de conceptos fundamentales: los ejercicios exigen conocimientos básicos de la Resistencia de Materiales bien claros.

• Aplicabilidad: se han seleccionado ejercicios aplicados al campo de la Ingeniería Mecánica y, en lo posible, lo más parecidos a los sistemas reales, evitándose las simplificaciones y la presentación de modelos físicos.

• Incompletos: algunos ejercicios no aparecen con los datos completos para su solución. Esto se hace con el fin de que los estudiantes empiecen a tomar sus propias decisiones del diseño, ya que en los casos reales de ingeniería hay ocasiones donde todos los datos no son conocidos, por lo que se debe tomar una posición frente a estos, es decir, se asume, selecciona o investiga un dato determinado.

Al final se proponen una serie de ejercicios seleccionados, con los cuales se busca que se trabaje especialmente sobre el análisis y no sobre la repetición. Sin duda, aquel estudiante que resuelva a conciencia los ejercicios aquí propuestos logrará un buen desempeño y habrá generado las competencias necesarias para aplicar los conceptos de la Resistencia de Materiales en situaciones de ingeniería que así lo requieran.

ORGANIZACIÓN DE LOS CAPÍTULOS

El libro se ha organizado partiendo del hecho de que son claros los conceptos básicos de la Resistencia de Materiales. De esta manera, el Capítulo 1 presenta las diferentes “teorías de falla bajo carga estática” que se trabajan en el Diseño de Elementos de Máquinas. En el Capítulo 2 se muestra “la resistencia de los materiales bajo la acción de tensiones fluctuantes: fatiga", para así demostrar de forma conjunta el análisis tanto para carga estática como para variable de elementos de máquina, donde se pueden evidenciar las diferencias de cada análisis.

En el Capítulo 3 se explica un método alternativo denominado “métodos de energía”, con el cual se pueden analizar y resolver algunos problemas de la Resistencia de Materiales, basándose en la primera ley de la termodinámica. En el Capítulo 4 se expone el análisis de los elementos que trabajan a compresión: “columnas”, debido al tratamiento especial que se le debe dar, por su problema de inestabilidad, el cual se presenta como fenómeno en elementos cargados axialmente a tensión.

El Capítuo 5 trata el análisis de “deflexiones en vigas”, donde se trabajan dos métodos: el Método de la Doble Integral y el Método Área de Momentos. De igual manera, en el Capítulo 6 se analizan los métodos de solución para vigas estáticamente indeterminadas, entre los cuales están: el Método Área de Momentos, la Ecuación de los Tres Momentos y el Método de Cross.

Finalmente, en el Capítulo 7, “Introducción a la mecánica computacional”, se dan los conceptos básicos del método de elementos finitos como una introducción al trabajo con la mecánica computacional.

RECONOCIMIENTOS

Este libro ha sido el trabajo de varios años, especialmente en la asignatura Resistencia de Materiales II, del plan de Ingeniería Mecánica de la Universidad Autónoma de Occidente de Cali, Colombia. Algunos capítulos fueron trabajados inicialmente como notas de clase; por lo tanto, expreso mis agradecimientos a aquellos estudiantes que aportaron con sus correcciones.

A la Universidad Autónoma de Occidente, por apoyarme en todos mis proyectos editoriales y por formar parte de mi desarrollo académico.

A mí esposa Mónica, por su infinita paciencia y apoyo constante a largo de todos estos años, y, finalmente, a mi hija María Camila, por enseñarme que el amor hacia un hijo puede ser infinito y por darle otro sentido a mi vida.

HÉCTOR ENRIQUE JARAMILLO SUÁREZ

1. TEORÍAS DE FALLA BAJO CARGA ESTÁTICA

Un problema de suma importancia en el cálculo estructural consiste en evaluar la resistencia de una pieza conociendo el estado tensional o de esfuerzos (Figura 1.1). En otras palabras, es conocer cómo está la resistencia del material versus la condición de esfuerzos a la que está sometida la pieza; para esto pueden plantearse y resolverse las siguientes preguntas a resolver: ¿la resistencia es mayor, igual o menor a los valores de esfuerzos? ¿Cómo o contra qué se comparan los estados de esfuerzos del cuerpo?

Figura 1.1 Resultados del análisis por elementos finitos de un soporte, donde se usa el criterio de Von Mises

Responder las preguntas formuladas en el párrafo anterior se simplifica cuando se tiene un estado tensional sencillo o uniaxial, como se muestra en la Figura 1.2a. En cuyo caso si σ≤σ_Admisible, el cuerpo presentará un comportamiento adecuado desde el punto de vista de diseño. En el caso de que σ>σ_Admisible, está la probabilidad de falla del diseño o fractura del componente.

Figura 1.2 (a) Barra sometida a carga axial, (b) Condición de esfuerzos para un elemento diferencial

Sin embargo, para el caso de un estado tensional compuesto (Figura 1.3), donde todas o las tres tensiones principales (σ₁, σ₂ y σ₃) no son iguales a cero, el estado límite o peligroso para un mismo material puede tener lugar con diferentes valores límites de las tensiones principales, según sea la correspondencia entre ellas. Por lo anterior, la expresión σ≤σ_Admisible, para evaluar la seguridad del componente queda sin validez, por lo que hay que buscar alternativas que relacionen los efectos de cada uno de los esfuerzos principales y que puedan compararse con la resistencia admisible del material, a fin de evaluar la vulnerabilidad del sistema.

Figura 1.3 Condición de esfuerzos de un elemento diferencial

En vista de lo anterior, surgen las teorías de falla para carga estática como una solución para tratar de explicar bajo qué condición de los esfuerzos principales un componente mecánico que está sometido a cargas estáticas puede fallar. Sin embargo, todas estas teorías tienen sus limitaciones o sus campos de acción, donde, bajo ciertas consideraciones, logran un buen comportamiento y predicen la falla con más exactitud que las demás.

1.1 TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO NORMAL (T.M.E.N.)

Esta teoría se le atribuye generalmente a W. J. M. Rankine (1820–1872)¹, un destacado pedagogo británico.

La falla en un elemento mecánico se da si el estado de esfuerzo del elemento es tal que el valor absoluto de alguno de sus esfuerzos principales es mayor, en el momento de la cedencia, que los esfuerzos en una probeta.

Considerando a un elemento sometido a una condición de esfuerzo bidimensional, donde, en cualquier condición que esté sometido a esfuerzos normales de tensión únicamente, y graficado esto en el círculo de Mohr, se obtiene el círculo del lado derecho de la Figura 1.4. Ahora, si se hace lo mismo para un elemento sometido a esfuerzos de compresión, se obtiene el círculo del lado izquierdo. Por tanto, las posibles condiciones de esfuerzos se mantendrán entre los dos círculos mostrados.

Figura 1.4 Representación de las posibles condiciones de esfuerzos en el círculo de Mohr

Es decir, el máximo esfuerzo a compresión que puede llegar a obtener es σ₂ y el máximo esfuerzo a tensión es σ₁. Así, para la condición de falla debe ocurrir que:

O:

En otras palabras, la falla ocurre cuando el máximo esfuerzo a compresión (σ₂) supera la resistencia a la compresión (S_uc), o cuando el máximo esfuerzo a tensión (σ₁) supera la resistencia a la tensión (S_ut). Esto es cuando se cumpla una de las dos condiciones.

Ahora, para la condición de resistencia o de no falla debe ocurrir que:

o:

De las Ecuaciones 1.3 y 1.4 se tiene que:

y

De las ecuaciones 1.5 y 1.6, FS es el factor de seguridad definido para el diseño.

Esta teoría se aplica en la práctica solamente para materiales bastante frágiles y lo suficientemente homogéneos, como vidrio, yesos, algunos tipos de cerámica y el hierro vaciado. Este último no tiene definido el punto de cedencia y la resistencia última a compresión es considerablemente mayor que la última a tensión.

Se ha demostrado que esta teoría ha presentado problemas en el segundo cuadrante del sistema de coordenadas σ-τ, por lo que ha sido replanteada.

1.2 TEORÍA O CRITERIO DE LAS DEFORMACIONES LINEALES UNITARIAS MÁXIMAS

Una teoría análoga a la del Máximo Esfuerzo Normal, propuesta por W. J. M. Rankine, fue promulgada por el gran experto en teoría de elasticidad: B. de Saint Venant (1797-1886).

Se toma como criterio de estado límite el valor máximo absoluto de la deformación lineal, es decir, la condición de fluencia o de rotura, según se presente. En el caso de que el criterio sea la fluencia, se tiene:

Donde ε_y es la deformación unitaria al punto de fluencia. Para la condición de resistencia o de que el elemento estructural no falle, se muestra:

De la Ecuación 1.8, ε₁ es la deformación unitaria correspondiente al esfuerzo principal máximo (σ₁) y FS es el factor de seguridad usado en el diseño.

De la Ley Generalizada de Hooke, se sabe que:

Por tanto, para la condición de resistencia o de no falla, la Ecuación 1.9 se puede representar como:

De este modo:

Si se adopta el concepto de tensión equivalente, se tiene:

De manera que:

Esta teoría tuvo gran aplicación al inicio de su planteamiento; sin embargo, hoy en día se encuentra en desuso.

1.3 TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO CORTANTE O CRITERIO DE LAS TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS

Para esta teoría, el estado peligroso o de falla está definido por las tensiones tangenciales máximas, después de la transformación de esfuerzos en el círculo de Mohr. Ahora, la condición de falla se define como:

La condición de resistencia o de no falla se define:

Del círculo de Mohr, el esfuerzo cortante máximo se puede calcular como:

Ahora, como:

Así:

Por tanto:

Organizando:

Al valor de 2τ, en general, se le denomina el esfuerzo normal de Tresca, por lo que el criterio suele tomar el mismo valor.

Esta teoría ofrece buenos resultados para los materiales que poseen igual resistencia tanto a tracción como a compresión. La debilidad de esta teoría consiste en no tomar la tensión principal σ₃, que ejerce cierta influencia, aunque insignificante en la mayoría de los casos, sobre la resistencia del material.

1.4 CRITERIO DE LA ENERGÍA POTENCIAL UNITARIA DE VARIACIÓN DE LA FORMA

Este criterio también recibe el nombre de Teoría de la Máxima Energía de Distorsión o Criterio de Von Mises.

Esta teoría se originó al comprobar que los materiales dúctiles sometidos a esfuerzos hidrostáticos presentaban resistencias a la fluencia, que exceden, en gran medida, los valores que resultan del ensayo de tensión simple. Por lo tanto, se postuló que la fluencia no era un fenómeno de tensión o compresión simple, sino, más bien, que estaba relacionado de alguna manera con la distorsión angular con el elemento esforzado.

El estado límite o peligroso del cuerpo se define por el valor límite de la energía unitaria acumulada durante la variación de su forma, la cual puede determinarse durante un ensayo de tracción simple en el momento de la fluencia. Por ello, la condición de falla quedaría de la siguiente manera:

De la Ecuación 1.22, la condición de falla se produce cuando la energía de deformación máxima se hace igual a la energía al punto de fluencia.

Para el caso de resistencia o de la no falla del componente, el criterio puede expresarse como:

Asumiendo que el material se comporta de acuerdo con la ley de Hooke y para el caso de un estado tensional en tres dimensiones, es decir, el elemento diferencial se encuentra sometido a esfuerzos normales en las tres direcciones (Figura 1.5), la energía potencial unitaria de la deformación se determina por el trabajo total de las tensiones principales σ₁, σ₂, σ₃ y, en los desplazamientos correspondientes iguales a las deformaciones relativas ε₁, ε₂ y ε₃. Por tal razón, la energía potencial unitaria se expresa como:

Figura 1.5 Elemento diferencial sometido a una condición general de esfuerzos

Al hacer uso de la ley generalizada de Hooke y reemplazando en la Ecuación 1.24, se puede suprimir las deformaciones, quedando:

Durante la deformación del cuerpo elástico varía su volumen, pero también su forma (el cubo se convierte en un paralelepípedo). Así, la energía potencial unitaria de la deformación u puede presentarse como la suma de:

Donde u_v corresponde a la energía potencial unitaria de variación del volumen, y u_f corresponde a la energía potencial unitaria de variación de forma.

Por tanto, la ecuación para la energía potencial unitaria de variación de volumen queda:

Y la ecuación para la energía potencial unitaria de variación de forma es:

Organizando la Ecuación 1.28 se tiene:

Para el caso de la energía potencial unitaria de variación de forma límite, en el punto de fluencia, para un caso uniaxial de esfuerzos, solo se tendrán valores para σ₁, siendo σ₂ y σ₃ cero, y el valor de σ₁ límite sería el esfuerzo de fluencia (S_y); en consecuencia:

Al límite de fluencia, la energía queda:

Ahora, para obtener la condición de resistencia o de no falla, debe suceder que:

Por tanto, igualando las ecuaciones 1.29 y 1.32, se tiene:

Organizando y cancelando los términos comunes:

De la Ecuación 1.36, al término de la izquierda se le conoce como esfuerzo de Von Mises (σ^,); por tal motivo:

Ahora, para una condición biaxial de esfuerzos, σ₃ = 0 (Figura 1.6) el esfuerzo de von Mises y el criterio de resistencia o de no falla quedan:

Donde:

Figura 1.6 Condición biaxial de esfuerzos

Es la teoría más utilizada para los materiales dúctiles y se recomienda para los problemas de diseño, a menos que se especifique otra cosa o que el material no sea de comportamiento frágil.

1.5 CRITERIO DE COULOMB-MOHR

No todos los materiales tienen una resistencia a la compresión igual a la de tensión. Así, por ejemplo, la resistencia a la fluencia a compresión de algunas aleaciones de magnesio puede ser el 50 % de la resistencia a la fluencia en tensión⁵. Igualmente, para los hierros fundidos grises, la resistencia a la compresión triplica o cuadriplica la resistencia a la tensión.

Esta teoría se basa en la suposición de que la resistencia del material depende, principalmente, en el caso general del estado tensional, de la magnitud y del signo de la tensión principal mayor (σ₁) y menor (σ₃). Partiendo de esto, cualquier estado tensional puede representarse en el círculo de Mohr, construido sobre las tensiones principales σ₁ y σ₃. Suponiendo que σ₁≥ σ₂≥ σ₃.